Định nghĩa Không_gian_Hilbert

Mỗi tích vô hướng <·,·> trên một không gian vectơ định nghĩa trên số thực hay số phức H sẽ đưa đến một chuẩn ||·|| như sau:

‖ x ‖ = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}

Trong bất kì không gian có chuẩn nào, các quả cầu mở sẽ là một cơ sở của topo tương ứng; bất kì một không gian có chuẩn nào cũng là một không gian vectơ có trang bị topo và do đó bất kì không gian có tích vô hướng nào cũng như vậy.

Tiêu chuẩn Cauchy có thể được định nghĩa cho các dãy (sequence) trong không gian này (cũng như trong bất kì một không gian thuần nhất nào): một dãy {xn}n là một dãy Cauchy nếu như cho bất kì số dương ε nào có một số tự nhiên N sao cho với tất cả m, n > N, ||xn – xm|| < ε. Ta gọi H là một không gian Hilbert nếu như nó đầy đủ tương ứng với chuẩn này, nghĩa là bất kì dãy Cauchy nào hội tụ về một phần tử trong không gian đó. Mỗi không gian Hilbert do đó cũng là một không gian Banach (một không gian định chuẩn đầy đủ), nhưng điều ngược lại là không đúng.

Tất cả các không gian hữu hạn chiều (ví dụ như không gian Euclid với tích dot thông thường là những không gian Hilbert. Tuy nhiên, các ví dụ vô hạn chiều đóng vai trò quan trọng hơn trong các ứng dụng. Những ứng dụng này bao gồm:

Tích vô hướng cho phép người ta có một quan điểm "hình học" và sử dụng các diễn đạt hình học tương tự trong không gian hữu hạn chiều. Trong tất cả các không gian vectơ có trang bị topo, những không gian Hilbert là những không gian "cư xử tốt nhất" và gần nhất với các không gian hữu hạn chiều.

Một mục tiêu của giải tích Fourier là viết được một hàm số như là một chuỗi (có thể vô hạn) của các hàm cơ sở cho trước (nhân với số vô hướng). Bài toán này có thể được nghiên cứu một cách trừu tượng trong không gian Hilbert: bất kì không gian Hilbert nào cũng có một cơ sở trực giao, và bất kì phần tử nào trong không gian Hilbert cũng có thể được viết ra duy nhất như là tổng các phần tử cơ sở này nhân với các hệ số.